¿S’ha quadrat el cercle? (i què té a veure això amb Lviv)

El descobriment beu d’una tradició sorgida fa un segle en la llavors ciutat polonesa de Lwów, l’actual ciutat ucraïnesa de Lviv. De fet, un dels autors es va formar en aquesta ciutat.

Tot i que s’hi assembli, això no és la quadratura del cercle, en el sentit literal. Aquest problema secular està definit d’una manera diferent i no té solució possible, com es va demostrar el 1882. 

El problema original de la quadratura del cercle 

Tal com es va formular a l’antiga Grècia, aquest problema consisteix a construir un quadrat amb la mateixa àrea que un cercle, fent servir regla i compàs. 

«Per als grecs, les eines de dibuix eren fonamentals. La quadratura del cercle és un dels diversos problemes que van proposar sobre què es podria construir o no amb aquestes eines», explica Ignasi Mundet, investigador del Centre de Recerca Matemàtica. 

Quadrar el cercle va ser un repte obert fins a 1882, quan el matemàtic alemany Ferdinand von Lindemann va demostrar que era impossible. La raó arrela en la naturalesa del nombre pi, que defineix les propietats del cercle i estableix unes relacions impossibles de manejar amb regla i compàs.  

El problema, redefinit com un puzle

Si es passa a una definició més genèrica, es plantegen altres vies per quadrar el cercle. Per exemple, per mitjà d’un puzle: trencar un quadrat en una quantitat finita de peces que, rotades i trasllades, formin un cercle amb la mateixa àrea. 

Aquesta formulació la va plantejar el 1925 el matemàtic polonès Alfred Tarski. «Des del punt de vista matemàtic, no hi ha cap relació entre una qüestió i una altra, més enllà que totes dues parlen de cercles i quadrats», explica Mundet. 

L’any anterior, Tarksi havia fet una troballa desconcertant, juntament amb un altre matemàtic: Stefan Banach, professor a la ciutat llavors pertanyent a Polònia (Lwów) i avui a Ucraïna (Lviv). 

La paradoxa de Banach i Tarski afirma que es pot agafar una bola i partir-la en un nombre finit de trossos, que es poden recombinar per formar no una, sinó dues boles idèntiques a la primera. ¿Com pot un volum multiplicar-se per dos? El truc és que els trossos no són peces regulars. Es poden imaginar com una espècie de núvols de punts pels quals la definició habitual de volum falla. 

La llarga marxa de la solució

Successivament, explica Mundet, Banach va demostrar que aquesta paradoxa no passava si es consideraven figures planes en lloc de tridimensionals. Un exemple senzill d’això és que si hi ha dos polígons de la mateixa àrea se’n pot armar sempre un amb les peces d’un altre. Segons Mundet, era natural que Tarski es preguntés si es podia fer el mateix amb un cercle i un quadrat amb la mateixa àrea.

La resposta a aquesta pregunta no va arribar fins al 1990, quan l’hongarès Miklós Laczkovich va demostrar que sí que era possible. El problema d’aquesta solució és que requereix un nombre descomunal de peces i que no diu la forma que han de tenir. 

Allà entra en joc Oleh Pikhurko, matemàtic de Lviv que treballa a la Universitat de Warwick (Regne Unit) i fa uns anys que el posa de cara a aquestes peces. La seva última publicació representa un pas més en la definició de les seves propietats matemàtiques.

El nombre de peces necessàries continua sent astronòmic, però simulacions a l’ordinador suggereixen que en un futur es podrien reduir a una quantitat més manejable, apunta Andras Mathe, coautor del treball. El que mai serà possible és fabricar un puzle, ja que la forma d’aquestes peces no és ni contínua ni regular, cosa que fa impossible construir-les físicament. 

L’Escola Matemàtica de Lwów

Quan va plantejar la seva paradoxa, Banach ja havia establert les bases de l’Escola de Lwów, un grup d’investigadors que van influir en la matemàtica i la física del segle successiu. 

El grup va organitzar una tertúlia al Cafè Escocès de la ciutat, les conclusions de la qual s’anotaven al mític Quadern Escocès. En aquest objecte de culte es van formular alguns problemes clau per al futur d’aquesta disciplina.

Aquest gresol de coneixement va ser arrasat per la Segona Guerra Mundial. Primer, els nazis van assassinar o van deportar alguns membres de la tertúlia. Després, les tropes estalinistes en van expulsar d’altres per ser polonesos, després de l’annexió a Ucraïna d’aquesta part de Polònia. L’actual ciutat de Wroclaw en va acabar acollint la majoria. 

Notícies relacionades

Set plantes aptes (i beneficioses) per a gats

Tot i que vulguis perdre pes, menja greixos

És una «història de crueltat històrica, que la guerra d’Ucraïna podria posar d’actualitat», afirma Antonio Durán, investigador de la Universitat de Sevilla i autor de ‘Pasiones, piojos, dioses... y matemáticas’ (Destino, 2009), sobre l’Escola de Lwów.

No obstant, Pikhurko reivindica la seva filiació d’aquesta escola. «Banach va ser professor a la universitat en l’època soviètica i devia d’influir en molts matemàtics ucraïnesos. Lviv continua sent forta en aquests àmbits i sempre ha mantingut contactes forts amb els matemàtics polonesos», conclou.